懸臂梁在端部集中力作用下的力流
在靜力學(xué)領(lǐng)域，
結(jié)構(gòu)是要將力傳遞到目的地，即結(jié)構(gòu)
工程師通過(guò)材料的組裝引導(dǎo)力流的傳遞。力流從一個(gè)點(diǎn)傳遞到另一個(gè)點(diǎn)，可選的路徑很多。
那么，沿哪條路徑傳遞才是最優(yōu)的呢？或者怎樣判斷結(jié)構(gòu)效率的高低？這是本文要討論的問(wèn)題。
首先看一個(gè)概念——“應(yīng)變能”。
1.應(yīng)變能
應(yīng)變能是什么？我們從兩個(gè)角度看。
從結(jié)構(gòu)外部看，外力所做的功以應(yīng)變能的形式存儲(chǔ)于結(jié)構(gòu)內(nèi)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于外力與結(jié)構(gòu)變形的乘積。
式中：C為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；P為結(jié)構(gòu)所受外力；U為結(jié)構(gòu)在外力P處的變形。
（1）式可以寫為：
其中，1/U為結(jié)構(gòu)
剛度，假設(shè)荷載是一個(gè)常量，則應(yīng)變能C越小，表示結(jié)構(gòu)的剛度越大。
因此，在相同荷載下，應(yīng)變能最小表示該結(jié)構(gòu)剛度最大。
從結(jié)構(gòu)內(nèi)部看，應(yīng)變能是應(yīng)變能密度對(duì)體積的積分。
c為應(yīng)變能密度，應(yīng)變能密度定義如下：
式（3）可改寫為下式：
應(yīng)力比代表結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，而結(jié)構(gòu)所用材料的體積即為結(jié)構(gòu)的材料用量。因此，由式（5）可見(jiàn)，應(yīng)變能反映的是應(yīng)力比水平與材料用量之間的一個(gè)關(guān)系。
在材料用量一定的情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小，表示應(yīng)力比水平越低；在應(yīng)力比水平一定的情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小，表示材料用量越低。
綜上所述，如果我們以材料的用量來(lái)評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)傳力效率（即荷載和邊界條件相同的情況下，材料用量少，結(jié)構(gòu)效率高；材料用量多，結(jié)構(gòu)效率低），那么“應(yīng)變能”可以作為結(jié)構(gòu)傳力效率的指標(biāo)。
2.應(yīng)變能作為結(jié)構(gòu)傳力效率指標(biāo)的前提條件
要得到上面的結(jié)論，須有以下兩條假定：
01 以上論斷都只有在應(yīng)力不超過(guò)材料彈性極限，以及不考慮幾何非線性、穩(wěn)定的前提下才能成立，也就是說(shuō)，只適用于線彈性范圍之內(nèi)。
02 因?yàn)橥茖?dǎo)中采用應(yīng)力比λ表征了截面應(yīng)力水平，所以以上結(jié)論僅在截面應(yīng)力分布完全均勻（軸拉或軸壓）的情況下成立。
因?yàn)閷?duì)于受軸力的
構(gòu)件，應(yīng)力在截面上、軸力在桿件長(zhǎng)度上都分布均勻。但是對(duì)于受彎構(gòu)件，應(yīng)力在截面上分布是不均勻的；而且在受橫向力彎曲時(shí)，彎矩沿桿件長(zhǎng)度的分布也并不均勻。
對(duì)于實(shí)際工程，由于需要考慮的因素非常多（比如
建筑的功能、美觀要求），
結(jié)構(gòu)工程師必須在某些地方進(jìn)行妥協(xié)。怎樣達(dá)到綜合效益的最佳，本文不作討論。
3.應(yīng)變能的概念分析
假設(shè)結(jié)構(gòu)的每一根桿件應(yīng)力比均相同，即λ為定值。則式（5）可以簡(jiǎn)化為下式。
由式(6)可知，應(yīng)變能C與應(yīng)力比的平方成正比,是一個(gè)標(biāo)量。因此，計(jì)算應(yīng)變能時(shí)，力流不區(qū)分拉力還是壓力，均為正。
由V=∑A×L（A為橫截面面積，L為桿件長(zhǎng)度）可得：
假設(shè)桿件均在同一應(yīng)力水平下（即應(yīng)力比相同），則桿件的軸力與橫截面面積成正比：
將式(8)代入式(7)中，則：
假設(shè)R為一定值：
將式(10)代入式(9)中，則：
式（11）的物理意義為：一個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與力流大小及力流走過(guò)的長(zhǎng)度成正比。因此，傳力越直接，應(yīng)變能越小。
所以，力沿剛度最大的路徑傳遞，而力沿最短路徑傳遞是最有效率的。
4.討論
示例1：
有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，假設(shè)結(jié)構(gòu)高度為H，H為常數(shù)，θ作為變量，中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用，如圖1所示。
圖1 二力桿示例計(jì)算簡(jiǎn)圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
所以，θ=90°時(shí)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小，即可認(rèn)為此時(shí)結(jié)構(gòu)效率最高。
示例2：
有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)（示例1中H為常量），θ為變量，中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用，如圖2所示。
圖2 二力桿示例計(jì)算簡(jiǎn)圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
通過(guò)Matlab可以求出上式的最小正值。
假設(shè)：
可得，函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.9553，對(duì)應(yīng)極值為f(x)=2.5981。函數(shù)圖形如圖3所示。
圖3 f(x)的函數(shù)圖形
綜上所述，θ=0.9553rad（54.762°）時(shí)，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能取得最小值。結(jié)構(gòu)效率是在θ=54.762°時(shí)最高。
5.結(jié)構(gòu)優(yōu)化解的多樣性
仍然使用經(jīng)典二力桿案例進(jìn)行分析。
示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)，θ為變量，中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用，如圖4所示。
圖4 二力桿示例計(jì)算簡(jiǎn)圖
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
01 截面為常量，應(yīng)力為變量
則求解應(yīng)變能的極值就是求解以下函數(shù)的極值：
以上函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.955，對(duì)應(yīng)極值為f(x)=2.5981。
所以假設(shè)桿件截面不變，當(dāng)θ=54.76°時(shí)，應(yīng)變能最低，結(jié)構(gòu)剛度最大。
02 應(yīng)力為常量，截面為變量
假設(shè)應(yīng)力為常量，那么截面積A就是一個(gè)隨θ變化的變量。
應(yīng)變能的表達(dá)式就要改寫為如下：
由上式可知，應(yīng)變能在θ=45°時(shí)最小。即控制桿件應(yīng)力水平相同，當(dāng)θ=45°時(shí)，應(yīng)變能最低，結(jié)構(gòu)材料用量最小。
03 H為常量，L為變量
示例1）中已有推導(dǎo)，在此僅給出結(jié)論。應(yīng)變能的表達(dá)式如下：
可見(jiàn)，應(yīng)變能在θ=90°時(shí)最小。所以，如果截面恒定，θ=90°時(shí)結(jié)構(gòu)剛度最大；如果應(yīng)力比恒定，θ=90°時(shí)材料用量最小。
以上都是以應(yīng)變能為優(yōu)化目標(biāo)，但是當(dāng)約束條件不同時(shí)，得到的結(jié)果不同。若進(jìn)一步改變優(yōu)化目標(biāo)，看下優(yōu)化的結(jié)果是什么？
04 截面不變，考慮壓桿穩(wěn)定，以最大承載力為優(yōu)化目標(biāo)
首先歐拉公式為：
將桿件長(zhǎng)度與L和θ的關(guān)系代入上式，可得：
進(jìn)而可以得到外力F與θ的關(guān)系：
由上式可知，θ=35.26°時(shí)，相同的桿件截面可以承受最大的外力F。
可見(jiàn)，不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo)，得到的結(jié)構(gòu)形態(tài)都是不同的。小i在實(shí)際的優(yōu)化實(shí)踐中覺(jué)得，假定截面為常量進(jìn)行優(yōu)化比較可行。
比如在進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化時(shí)，將截面設(shè)定為常量將會(huì)減少非常多的優(yōu)化變量，這樣僅需將優(yōu)化變量設(shè)定為
節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算工作量大大下降。而這樣做可以得到一個(gè)相對(duì)較優(yōu)的解。下圖即為采用該種方法進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化的一個(gè)示例。
6.結(jié)構(gòu)效率系數(shù)—結(jié)構(gòu)效率的另一個(gè)指標(biāo)
之前探討了應(yīng)變能作為作為結(jié)構(gòu)效率的評(píng)價(jià)指標(biāo)，但是小編還想探討結(jié)構(gòu)效率的另一個(gè)指標(biāo)，我稱之為“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”。這個(gè)指標(biāo)的物理意義存疑，但小編仍覺(jué)值得討論。
如果我們將結(jié)構(gòu)的傳力類比于“工作總量”和“工作時(shí)間”，我們是不是能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)效率類比于“工作效率”呢？
“工作總量”——外力勢(shì)能(W)
我們將外力F與外力到傳力目的地的距離s的乘積定義為外力勢(shì)能W：
規(guī)定：支座位置為外力的勢(shì)能零點(diǎn)。
“結(jié)構(gòu)的工作時(shí)間”——結(jié)構(gòu)應(yīng)變能(C)
在應(yīng)力比水平相同的情況下，我們用應(yīng)變能的大小反映結(jié)構(gòu)傳遞外力所要耗費(fèi)的材料。
“工作效率”——結(jié)構(gòu)效率系數(shù)(μ)
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)=外力勢(shì)能/結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：μ=W/C
基于此，再看以下示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)，θ為變量，中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用，如圖5所示。
圖5 二力桿示例計(jì)算簡(jiǎn)圖
外力勢(shì)能：
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)：
可見(jiàn)，不管是應(yīng)力比為常量還是截面面積為常量，都是θ=90°時(shí)結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最高。但是，θ=90°，外力勢(shì)能趨于無(wú)窮大，材料用量也趨于無(wú)窮大。
假設(shè)H為常量，L為變量。
外力勢(shì)能：W=FH（定值）
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)：
由上式可得，θ=90°時(shí)，結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最大，同時(shí)，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小。
可見(jiàn)，如果以“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”為指標(biāo)，則用應(yīng)變能優(yōu)化得到的不同解統(tǒng)一為一個(gè)解。關(guān)于這個(gè)指標(biāo)中的“外力勢(shì)能”，小i解釋不清。對(duì)于一根懸臂梁，在自由端作用一個(gè)集中力，外力勢(shì)能應(yīng)該是力與力臂的乘積。但通常我們認(rèn)為，力與力臂的乘積是力矩。
雖然小編知道，力矩是矢量、勢(shì)能是標(biāo)量。但巧的是，他們的單位都是kN.m。所以，小編覺(jué)得這兩個(gè)物理量之間是不是統(tǒng)一的？但目前為止，還沒(méi)想通。如果您有想法，歡迎留言。
弗雷·奧托研究輕型結(jié)構(gòu)時(shí)，也采用了類似的指標(biāo)來(lái)研究結(jié)構(gòu)的受力效率。他認(rèn)為“力臂、力傳遞距離、輸送能力等專業(yè)名詞，他們有著相同的基本意義”。有興趣的朋友可以查閱《輕型建筑與自然設(shè)計(jì)—弗雷·奧托作品全集》。
6.小結(jié)
力沿剛度最大的路徑傳遞，但并不代表剛度最大的路徑結(jié)構(gòu)效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的，材料是最省的或剛度是最大的。
應(yīng)變能可以一定程度代表結(jié)構(gòu)的材料用量和結(jié)構(gòu)剛度，因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化中可以將它作為優(yōu)化指標(biāo)，且建議實(shí)際優(yōu)化中假定截面是不變的。
不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo)所導(dǎo)致的優(yōu)化結(jié)果可能不一樣。優(yōu)化得到的解往往是一個(gè)相對(duì)優(yōu)的解，而不是絕對(duì)最優(yōu)解。
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